ROEDORES DE FILOSOFÍA

martes, 10 de junio de 2014

ESTILOS MATEMÁTICOS

         En los libros de texto de matemáticas encontramos alguna referencia a su historia, algún cuadro biográfico que nos explica quién fue el descubridor de tal o cual método o alguna curiosidad sobre cómo nació un determinado problema. Más raro es que aparezcan mencionadas las discusiones teóricas que genera la praxis matemática. Los libros de texto no pueden abarcar todas estas dimensiones. Aunque algunos explican los tipos de demostraciones y los procedimientos lógicos básicos, deben ceñirse a la exposición de las nociones centrales y a la resolución de ejercicios.
        La matemática es mucho más que un conjunto de problemas y de métodos. Es pensamiento, creación de conceptos. Si nos adentramos en la praxis matemática, no sólo hallamos rutinas operatorias, algoritmos o demostraciones formales. La filosofía de la matemática y la historia del pensamiento matemático nos pueden acercar a la complejidad de su contexto epistémico y social. Javier de Lorenzo, matemático y catedrático de Lógica y Filosofía de la Ciencia de la Universidad de Valladolid, ha dedicado varias obras a esa tarea. Acaba de publicar en la editorial Nivola (2014) el libro “Estilos matemáticos en los inicios del siglo XX.”
La filosofía de la matemática, según el autor, sólo la pueden llevar a cabo los matemáticos, porque sólo ellos pueden conocer la dinámica real, concreta, de la que brotan las verdaderas encrucijadas conceptuales. Para Javier de Lorenzo el Hacer matemático es sobre todo una praxis creativa y plural:
“(…) el Hacer matemático no está dado de una vez y para siempre, no se encuentra en un mundo que nadie sabe muy bien cómo es y cómo se accede al mismo: los matemáticos en su trabajo, van creando nuevas formas de hacer matemática elaborando nuevos conceptos, nuevos métodos de definición, nuevas formas de demostración y de razonamiento, manifestando nuevos estilos expresivos…”
A finales del siglo XIX y principios del XX dialogan dos formas de hacer matemática, dos Programas-marco. Se pasa de un Hacer Figural, finitista y constructivo, a un Hacer Global, conjuntista y existencial. Y es en los Congresos Internacionales de Matemáticos donde se hacen propuestas de futuro, valoraciones y se plantean retos.
A lo largo del siglo XIX aparecen problemas interesantes en geometría, análisis, aritmética y álgebra: números imaginarios y complejos, geometría proyectiva y no-euclídea, funciones y representación, funciones teratológicas, discretizar el continuo... Enfrentarse a estos asuntos implica debatir sobre cuestiones ontológicas y epistemológicas, es decir, sobre qué es y cómo puedo conocerlo.
 El concepto de número se va ampliando. Para unos, los números imaginarios son ficciones útiles, meros símbolos para seguir operando; para otros son entidades reales, al mismo nivel que los números naturales. También se amplía lo que entendemos por geometría, por espacio. La construcción de las geometrías no-euclídeas obliga a trabajar con conceptos que no son ya el punto y la línea. Y en el ámbito de las funciones surge el problema de la representación. Hay funciones que son difíciles de definir, de clasificar y de representar. 
         Para asumir los nuevos tipos de números había que cambiar las condiciones necesarias implicadas. Esta ampliación de condiciones suponía una ampliación ontológica, o al menos operacional. Poco a poco se va a llevar a cabo un giro, una inversión. Primero se establecen condiciones formales y luego se van derivando los entes individuales que pueden existir. El programa formalista, axiomático, parte de totalidades y define estructuras. El nuevo Hacer Global que surge a finales del XIX utiliza la noción de conjunto y la de infinito actual. A principios del XX esta nueva forma de trabajar generará ciertos problemas, como las paradojas, sobre todo si se pretende fundamentar completamente la matemática desde la lógica. Para Javier de Lorenzo hubo crisis en el logicismo, no en la praxis matemática.
       Javier de Lorenzo nos describe dos Programas-marco, dos formas de hacer matemática que incluyen dos concepciones de la labor del matemático, de su papel en la sociedad. Para Poincaré la matemática es creación, construcción, nunca cerrada definitivamente. El matemático desarrolla su praxis en conexión con otros ámbitos, como la filosofía, la física, la estética y la ética. Para Poincaré, la actividad matemática es esencialmente creativa, se nutre de analogías y aporta analogías útiles a otros campos del saber. Hilbert, por el contrario, se centra en un hacer matemático que tiende a automatizar el pensamiento. Partimos de axiomas y definiciones que establecen lo que es pensable y abordable. Desde este enfoque, el matemático se aleja de otros campos del saber y se limita a derivar hileras de símbolos sin caer en contradicciones. Y entre dos aguas, la Escuela de París, Borel, Lebesgue…